解一道简短却不简单的中国奥数入门题

（注：由于我有点懒，此中文版本绝大部分是用 Google Gemini 3.1 Pro 英译中的。若有误，敬请谅解。）

引言

显然，我上海的新邻居是个五年级的天才，他现在已经在学习高中课程了。因此，说他正在准备数学奥赛也就不足为奇了。今天，他给我看了一道他奥数班的作业题，把我给难住了。

题目的主题是“集合”。我心想，作为一个大学生，五年级学生的集合论题目总不至于太难吧？

他指着作业上的第3题，告诉我这是他第一道解不出来的题。

盯着这道题看了十分钟后，我没能解出这道题的第二问。为了在尴尬之后挽回一点颜面，我把我的解答写在这里。因为这道题有很多边界情况和容易出错的地方，我将写下一份极其严谨的解答。

哦对了，这道题也让我想起为什么我当年没有在国内搞奥数。我不确定这道题的出处。如果你找到了这道题的出处，请告诉我。

1%的集合，99%的代数。

题目

给定 $𝑎\in ℝ$，定义 $𝑓\left(𝑥\right)=𝑎{𝑥}^2-1$。定义集合 $𝐴=\left\{𝑥\in ℝ|𝑓\left(𝑥\right)=𝑥\right\}$ 和 $𝐵=\left\{𝑥\in ℝ|𝑓\left(𝑓\left(𝑥\right)\right)=𝑥\right\}$。

(a) 证明 $𝐴\subseteq 𝐵$。

(b) 求所有满足 $𝐴=𝐵\ne \varnothing$ 的 $𝑎$ 的可能取值，并给出证明。

备注

第(a)问很简单——它仅仅是测试选手是否知道什么是子集。

第(b)问……不知道为什么这会出现在集合的作业里。我唯一的瓶颈是对代数的观察。

我的解答

(a) 证： 设 $𝑥\in 𝐴$。则 $𝑓\left(𝑥\right)=𝑥$，所以 $𝑓\left(𝑓\left(𝑥\right)\right)=𝑓\left(𝑥\right)=𝑥$，这意味着 $𝑥\in 𝐵$。因此，$𝐴\subseteq 𝐵$。 $∎$

(b) 我断言所有可能的 $𝑎$ 的取值集合为 $\left[-\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right]$。

证： 我们将证明分为两个断言。

断言 1: $𝐴\ne \varnothing$ 当且仅当 $𝑎\ge -\frac{1}{4}$。

断言1的证明：

$(\Rightarrow )$ 首先注意到如果 $𝑎=0$，该断言显然成立（因为 $0\ge -\frac{1}{4}$）。

对于 $𝑎\ne 0$ 的情况，如果 $𝐴\ne \varnothing$，则 $𝑓\left(𝑥\right)-𝑥=𝑎{𝑥}^2-𝑥-1$ 有实根。因此，$\mathrm{\Delta }={\left(-1\right)}^2-4\left(𝑎\right)\left(-1\right)\ge 0$，所以 $𝑎\ge -\frac{1}{4}$。

$(\Leftarrow )$ 首先注意到如果 $𝑎=0$，则 $𝑓\left(𝑥\right)=-1$，所以 $𝑓\left(-1\right)=-1$ 是一个不动点，因此 $-1\in 𝐴$，即 $𝐴\ne \varnothing$。

对于 $𝑎\ne 0$ 的情况，如果 $𝑎\ge -\frac{1}{4}$，则 $\mathrm{\Delta }\ge 0$，所以 $𝑓\left(𝑥\right)-𝑥$ 至少有一个实根，这意味着存在某个 $𝑥\in ℝ$ 使得 $𝑥\in 𝐴$。 $∎$

断言 2: $𝐴=𝐵$ 当且仅当 $𝑎\le \frac{3}{4}$。

断言2的证明： 我们有 $-1=𝑓\left(𝑥\right)-𝑎{𝑥}^2$。因此，

对所有 $𝑥\in ℝ$ 成立。

为方便起见，记 $𝑔\left(𝑥\right)={𝑎}^2{𝑥}^2+𝑎𝑥+\left(1-𝑎\right)$。则 $𝑓\left(𝑓\left(𝑥\right)\right)-𝑥=𝑔\left(𝑥\right)\left(𝑓\left(𝑥\right)-𝑥\right)$。

首先注意到如果 $𝑎=0$，则我们得到 $𝑓\left(𝑓\left(𝑥\right)\right)-𝑥=\left(0+1\right)\left(𝑓\left(𝑥\right)-𝑥\right)=𝑓\left(𝑥\right)-𝑥$ 对所有 $𝑥\in ℝ$ 成立，因此 $𝐴=𝐵$。

接下来，我们将针对 $𝑎\ne 0$ 的情况 证明断言2。

$(\Rightarrow )$ 因为 $𝐴=𝐵$，必然有 $𝐵\subseteq 𝐴$。因此 $𝑓\left(𝑓\left(𝑥\right)\right)-𝑥$ 的任何根也是 $𝑓\left(𝑥\right)-𝑥$ 的根。所以，要么 $𝑔\left(𝑥\right)$ 没有实根，要么 $𝑔\left(𝑥\right)$ 的根是 $𝑓\left(𝑥\right)-𝑥$ 的根的子集。

情况 1：$𝑔\left(𝑥\right)$ 没有实根。那么，$\mathrm{\Delta }={𝑎}^2-4{𝑎}^2\left(1-𝑎\right)<0$，所以 ${𝑎}^2\left(4𝑎-3\right)<0$，又 因为 $𝑎\ne 0$，这得出 $𝑎<\frac{3}{4}$。

情况 2：$𝑔\left(𝑥\right)$ 至少有一个实根，并且 $𝑔\left(𝑥\right)$ 的所有根也是 $𝑓\left(𝑥\right)-𝑥$ 的根。

在这种情况下，$\forall 𝑟\in ℝ$，$𝑔\left(𝑟\right)=0⟹𝑓\left(𝑟\right)-𝑟=0$。

设 $𝑟$ 为 $𝑔\left(𝑥\right)$ 的一个根。那么，${𝑎}^2{𝑟}^2+𝑎𝑟+\left(1-𝑎\right)=0$ 且 $𝑎{𝑟}^2-𝑟-1=0$。代入可得 $𝑎\left(𝑟+1\right)+𝑎𝑟+\left(1-𝑎\right)=0$，即 $2𝑎𝑟+1=0$，且 因为 $𝑎\ne 0$，这得出 $𝑟=-\frac{1}{2𝑎}$。因此，$𝑔\left(𝑥\right)$ 必须恰好有一个实根，且必须是 $-\frac{1}{2𝑎}$。在这种情况下，$\mathrm{\Delta }=0$，所以 ${𝑎}^2\left(4𝑎-3\right)=0$，又 因为 $𝑎\ne 0$，可得 $𝑎=\frac{3}{4}$。

至此所有情况讨论完毕。在所有情况下，皆有 $𝑎\le \frac{3}{4}$。

$(\Leftarrow )$ 同上，如果 $𝑎<\frac{3}{4}$，则 $𝑔\left(𝑥\right)$ 没有实根，所以 $𝑓\left(𝑓\left(𝑥\right)\right)-𝑥=0⟹𝑓\left(𝑥\right)-𝑥=0$，即 $𝐵\subseteq 𝐴$。

如果 $𝑎=\frac{3}{4}$，则 $𝑔\left(𝑥\right)$ 恰好有一个根 $-\frac{1}{2𝑎}=-\frac{2}{3}$，而在这种情况下，$𝑓\left(-\frac{2}{3}\right)-\left(-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{3}{4}\right){\left(-\frac{2}{3}\right)}^2-1+\frac{2}{3}=0$，所以 $𝑓\left(𝑓\left(𝑥\right)\right)-𝑥=0⟹𝑓\left(𝑥\right)-𝑥=0$，这意味着 $𝐵\subseteq 𝐴$。

因此，如果 $𝑎\le \frac{3}{4}$ 且 $𝑎\ne 0$，则 $𝐵\subseteq 𝐴$。此外，在第(a)问中，我们得出 $𝐴\subseteq 𝐵$。因此，我们有 $𝑎\le \frac{3}{4}\wedge 𝑎\ne 0⟹𝐴=𝐵$。

因此，两个方向均已证明，在 $𝑎\ne 0$ 的情况下，我们有 $𝑎\le \frac{3}{4}$ 当且仅当 $𝐴=𝐵$。

结合 $𝑎=0$ 的情况，我们证明了断言 2。 $∎$

由断言 1 和断言 2，$𝐴=𝐵$ 且 $𝐴\ne \varnothing$ 当且仅当 $𝑎\ge -\frac{1}{4}$ 且 $𝑎\le \frac{3}{4}$，所以 $𝑎$ 的所有可能取值集合为 $\left[-\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right]$。 $∎$